Известны математические модели теорииэффективного портфеля, основанные на работахМарковица [1,2]. К сожалению, сложность этихмоделей ограничивает их практическоеприменение. Однако главная причина заключаетсядаже не в сложности, а в типичном противоречиимежду точностью вычислительного алгоритма ивозможностью получения достоверных исходныхданных для его реализации. Другими словами,теоретически обоснованные и точные расчетычасто выполняются на основе заведомонедостоверных данных, поскольку в реальной жизниполучить необходимую информацию в полном объемепрактически невозможно. Понятно, если на входкомпьютера мы подаем мусор, то независимо отколичества производимых с ним манипуляций навыходе мы его и получаем. Прежде всего, этокасается проблемы статистических зависимостеймежду различными активами. Разумеется, получениеоценок линейных коэффициентов корреляции поизвестным временным рядам доходности являетсятривиальной задачей. Однако учет этих оценоквследствие их неизбежной условностипредставляет лишь теоретический интерес,неоправданно усложняя задачу. С точки зренияавтора, при разработке управленческих решенийнадо в принципе отказаться от идеи поискаглобального оптимума, а использоватьприближенные методы, соответствующие возможнойточности исходной информации.
В данной статье предлагается алгоритмпринятия решения о выборе рациональнойструктуры набора инвестиций по стандартнымкритериям доходности и риска. При этомрассматривается только несистематический(диверсифицируемый) риск, управляемый менеджеромпортфеля. Полученные результаты проверены наимитационной модели при различных начальныхусловиях и используются в деловой игре«Риск-инвест» для студентов экономических истроительных специальностей.
Эффект диверсификации, обеспечивающийснижение риска, в определенной мере аналогиченэффекту резервирования (дублирования) в теориинадежности систем [3]. При этом параллельно сосновным элементом работает один или несколькорезервных (рис. 1).
Рисунок 1. Параллельная система
Надежность системы в целомопределяется по уравнению:
 (1)
где рS — надежность системы;
рi — надежность i-го элемента;
n — число элементов.
Под надежностью в этом случае понимаютвероятность того, что случайное время работыэлемента или системы будет больше или равнозаданному. Из формулы (1) видно, что при любойнадежности элементов можно создать системутребуемой надежности. На этом принципе основансинтез надежных систем из ненадежных компонент.Если все составляющие элементы имеют одинаковуюнадежность рi = р, то числонеобходимых элементов для обеспечения заданнойнадежности системы рS можно найти из формулы,которая следует из (1):
 . (2)
Таким образом, добавление каждогоследующего элемента снижает риск для системы вцелом. Например, мы имеем несколько независимых иравноценных по эффективности проектов, но поразным объектам инвестирования и шансы каждогоиз них — пятьдесят на пятьдесят. Тогдавероятность успеха при реализации лишь одногопроекта, как видно из формулы (1), остается такойже, то есть — 0.5; в случае двух — 0.75; трех — 0.875;четырех — 0.937 и т.д. Оценка риска определяется какдополнение до единицы. Число параллельноработающих инвестиций можно назвать кратностьюдиверсификации. Темп роста эффективностидиверсификации J с увеличением ее кратности nопределяется по формуле, которая следует из (2):
Видно, что увеличение кратностиоказывает наибольшее влияние при малыхзначениях n. Например, реализация одновременнодвух проектов снижает риск на 50%, четырех — на 87%,пяти — на 94%. Предельное значение при дальнейшемувеличении кратности равно 100%.
Если элементы взаимодействуют последовательно(рис. 2), что также имеет место в анализеэффективности инвестиций, то надежность системыопределяется как произведение соответствующихпоказателей для структурных составляющих(рис. 2).
Рисунок 2. Последовательная система
 (3)
Отсюда следует, что для обеспечениятребуемой эффективности последовательнойсистемы необходимы более высокие показателикаждого звена, причем с увеличением числазвеньев общая надежность уменьшается.
В обеих системах (параллельная ипоследовательная) под надежностью понимаетсявероятность безотказной работы, то естьвероятность того, что случайное время работыэлемента или системы будет равно или большезаданного. Конечно, при формировании ииспользовании инвестиционного портфеля никакихотказов не происходит. Но, имея предполагаемыйнабор активов и статистические характеристикикаждого из них, можно установить границыдоходности, вероятность превышения которыхсоответствует вероятности успеха, а вероятностьнепревышения — риску потерь:
 (4)
 (5)
где рx — вероятность получениядоходности равной или больше заданной хЗ;
qx — вероятность неполучениязаданной доходности хЗ (риск).
В качестве исходной информации используется средняя доходность ( ), среднее квадратическое отклонение (sх) и коэффициент вариации (Vx), полученные обработкой временных рядов за несколько предыдущих лет по каждому виду активов:
 (6)
где xi — значение доходности в году сномером i, %;
n — число лет, по которым имеетсяинформация;
 — средний квадрат случайной величины х;
 — дисперсия х;
 — квадрат средней доходности.
Из формулы для дисперсии следует, чтосредний квадрат случайной величины одним числомоценивает среднее значение случайной величины истепень рассеивания ее относительно среднего:
 (7)
На основании этого свойства  широко используют для оценки точности систем управления. На практике удобнее использовать арифметическое значение квадратного корня из среднего квадрата, имеющее размерность случайной величины.
Если данных о динамике доходности нетили их недостаточно, то исходные статистическиехарактеристики можно получить на основеиндивидуальных или групповых экспертных оценок:
 , (8)
где xmin, xнв, xmax —пессимистическая, наиболее вероятная иоптимистическая оценка предполагаемой годовойнормы прибыли по данному активу соответственно.
Однако для решения поставленнойзадачи необходимо знать законы распределениядоходности по каждому виду активов, которыеобычно неизвестны. Поэтому вводим вполнереальные допущения относительно вида этихзаконов.
Если известно, что возможные значенияслучайной величины доходности заключены вопределенных пределах и нет основанийпредсказать наиболее вероятную оценку, тоиспользуется закон равномерной плотности, длякоторого вероятность получения доходности рх,не меньше заданной хз, определяется поформуле:
 (9)
где a = xmin;
b = xmax.
Среднее значение и дисперсия для этогозакона соответственно равны:
 . (10)
Если известно, что возможны отклонениядоходности относительно наиболее вероятногозначения в обе стороны и коэффициент вероятностиVx < 0,33, то принимаем нормальныйзакон распределения, который зависит от двухпараметров и .Вероятность pх получения дохода, больше илиравного заданной величины х3:
 , (11)
где F0(u) — табулированнаяфункция.
Если коэффициент вариации доходностиактива по исходной информации Vx > 0,33,принимаем распределение Вейбулла-Гнеденко.Выбор этого закона обусловлен, в частности, темиже причинами, что и популярность степеннойфункции в задачах моделирования,прогнозирования и оптимизации: малое числокоэффициентов и гибкая структура. Вероятность рХполучения доходности, большей или равнойзаданной хз, определяется по формуле:
 (12)
где m и x0 — параметры формы имасштаба соответственно.
Параметры m и x0 определяют потаблицам в зависимости от значения коэффициентавариации, полученного в результате обработкиисходной информации. Если таблиц нет, акоэффициент вариации находится в пределах0,33—0,72, то для приближенной оценки можноиспользовать следующие соотношения:
 (13)
Данный закон в зависимости отпараметра формы пригоден для экспоненциальногораспределения доходности (m = 1), распределенияРелея (m = 2) и близкого к нормальному (m=3), тоесть является достаточно универсальным. Крометого, в общем случае, плотность вероятностейимеет правостороннюю асимметрию (скошено влево),что соответствует экономической сущностиявления: вероятность больших доходовзначительно меньше, чем сравнительно малых.
При формировании портфеля инвестицийс вероятностной точки зрения происходиткомпозиция распределений по отдельным активам,поэтому основной задачей является нахождение иизучение поведения закона распределения суммынезависимых слагаемых. Если число активовпортфеля достаточно велико, то в соответствии сцентральной предельной теоремой законраспределения доходности портфеля в целомявляется нормальным независимо от распределениясоставляющих элементов и их доли в портфеле.Например, композиция двух одинаковыхравномерных распределений дает треугольное, атрех — близкое к нормальному [4].
Для наглядности рассмотрим простойпример, взятый из монографии Е.М. Четыркина [5].Портфель должен состоять из двух видов ценныхбумаг, статистические характеристики которыхданы в табл. 1. Коэффициент корреляции междуактивами равен нулю. Параметры m и x0найдены по таблицам распределенияВейбулла-Гнеденко.
Задаемся рядом значений требуемойдоходности портфеля в диапазоне возможныхзначений, например: 1; 1.5; 2.0; 2.5; 3.0; 3.5. Далее поформуле (12) определяем соответствующиевероятности их получения для обеих бумаг pх1 иpх2. Результаты сведены в табл. 2.; здесь же данывероятности противоположных событий qx1 и qx2,то есть риск неполучения заданного дохода.
Таблица 1
Статистические характеристики ценных бумаг
Таблица 2
Результаты расчетов
Вероятности pх1 и pх2 означают,что, например, при заданной доходности хз = 2,эту доходность могут обеспечить акции первоговида в 48 случаях из 100, а акции второго вида в 80случаях из 100. Отсюда следует, что при заданнойдоходности удельные веса каждого вида активадолжны быть пропорциональны этим значениям, тоесть их надо пронормировать в долях единицы:
Используя полученные значения, можноопределить статистические характеристикиданного портфеля.
Средний доход:
Стандартное отклонение:
Коэффициент вариации:
Результаты расчета статистическиххарактеристик для шести вариантов портфелейданы в табл. 3.
Таблица 3
Результаты расчета статистическиххарактеристик
Видно, что для любого вариантакоэффициент вариации доходности портфеля VSменьше минимального из его структурныхсоставляющих Vx1 и Vx2 (табл. 1).
Задача оценки весовых коэффициентовлегко решается с помощью табулированной функциинормального распределения, посколькукоэффициент вариации доходности активов ненамного превышает допустимые границы. При этомриск определяется по формуле:
 (14),
где F0(u) — табличная функциянормального распределения.
Вероятность противоположного события,то есть получения дохода, равного или большего х3,определяется из уравнения:
 (15)
Например, если требуемая доходность х3= 2,5, то вероятность получения этой величиныдохода составляет:
— для первого актива:
— для второго актива:
Расчет весовых коэффициентов выполняется наоснове условия нормировки:
0,2660 + 0,6754 = 0,9414.
Отсюда следует: 
Таким образом, мы получили те жерезультаты, что и при использовании другого типараспределения доходности и те же, что в примереЕ.М. Четыркина, но не заданные, а рассчитанные попредлагаемой методике. На основе таблиц функциинормального закона рассчитаны показатели риска рSи qS для портфеля в целом по расчетнымхарактеристикам и sS. Оценки этих показателейможно получить в виде средней арифметической рSаи средней геометрической рSг с весами,равными доле каждого актива в наборе инвестиций:
 (16) , (17)
где рi — вероятность превышениязаданной доходности по i-му активу;
ai — доля i-го актива в портфеле.
Поскольку взвешенное среднееарифметическое является нижней границей длясреднего арифметического с теми же весами:
 (18)
то оценка вероятности по формуле для рSавсегда несколько меньше рSг за исключениемслучая, когда все qi равны между собой и тогда рSа= рSг. Следует, кстати, отметить, что это важноесвойство является основой геометрическогопрограммирования в теории оптимизации.
Полученные результаты (табл. 3) впринципе позволяют лицу, принимающему решение,выбрать приемлемый вариант с учетом увеличенияриска при росте доходности портфеля. В качествеколичественного критерия для выбораоптимального варианта можно использовать любойиз известных критериев принятия решения вусловиях риска: ожидаемого значения, наиболеевероятного (модального) значения, предельногоуровня, ожидаемого значения с учетом еговариации [6].
Критерий ожидаемого значения в данномслучае формулируется в виде:
 , (19)
где xзi и рSi — заданнаядоходность и ее вероятность для портфеля в целом.
Критерий наиболее вероятного значенияпредполагает выбор по правилу:
 , (20)
где xm — модальное значениедоходности.
Для распределения Вейбулла-Гнеденкоэта величина определяется по формуле:
 (21)
где х0 и m — параметры масштабаи формы соответственно.
Критерий предельного уровня в данномслучае является квантилью соответствующегораспределения. Для закона Вейбулла-Гнеденко призаданной вероятности предельный уровень хgопределяется по формуле:
 (22)
Обычно g принимают равной 0,8, 0,9, 0,95. Длянормального распредельного распределения:
 , (23)
где k — табличный коэффициент взависимости от принятого уровня вероятности g (k80= 0,842; k90 = 1,282; k95 = 1,645).
Последний критерий «ожидаемоезначение с учетом его вариации» в данном случаепрактически полностью совпадает с предыдущим итоже формулируется в виде:
 . (24)
Разница заключается лишь в том, чтолицо, принимающее решение, может выбратьзначение k намного больше единицы взависимости от его «несклонности» к риску,например, k = 2 и более. Используя последнийкритерий при k = 2 получим, что наиболееприемлемым вариантом является второй, хотязначения критерия для первых трех вариантов малоотличаются друг от друга (1,14, 1,15, 1,13), апоследующие три варианта имеют значениякритерия соответственно: 1,08, 1,00, 0,94.
Таким образом, для расчета характеристик доходности портфеля необходима информация о законах распределения доходности составляющих его активов. Как правило, более или менее достоверно определены лишь числовые характеристики, а законы распределения доходности остаются неизвестными. При этом возникает ситуация неопределенности, в которой возможны две альтернативы. В первом случае экспертным путем принимаются априорные распределения для каждого актива, как предлагается в данной статье. Во втором случае статистические характеристики портфеля определяются на основе принципа получения гарантированного результата, то есть рассчитываются гарантированные оценки доходности портфеля при наихудших возможных законах распределения доходности составляющих активов. Для расчета гарантированной оценки вероятности получения заданной доходности, когда вид закона распределения рх произволен, а известны лишь средние значения и дисперсия доходности  , можно использовать формулу, полученную Ю.Б. Гермейером [7]:
 (25)
Поскольку эта формула справедлива привозможных наихудших условиях, то есть для случаякрайнего пессимизма, ее можно использовать дляисключения заведомо неприемлемых вариантовпортфеля. К ним относятся все альтернативы, длякоторых заданная доходность больше среднейдоходности портфеля, то есть два последнихварианта, так как для них гарантированнаявероятность равна нулю.
Идея метода имитационногомоделирования чрезвычайно проста и в принципеможет быть реализована без применения ПК, а спомощью современного калькулятора, имеющего, какправило, датчик случайных чисел и встроенныепрограммы для сложных функций и статистическихвычислений. Дело в том, что большинствопрактических задач, даже если их удаетсяпредставить в виде аналитических зависимостей, вкачестве аргументов результирующего показателясодержат случайные величины или случайныефункции, которые обычно характеризуютсясредними значениями и флуктуациями относительносредних. При этом можно задать вероятные нижние иверхние границы факторных аргументов и для нихрассчитать значения результирующего показателя.Однако сразу возникает вопрос, в каком сочетаниивыбирать эти границы для различных действующихфакторов. Если взять все оптимистические или,наоборот, пессимистические границы, то такиерасчеты не представляют практического интереса,так как в реальной жизни очень редко встречаютсяситуации, чтобы все было абсолютно хорошо илиабсолютно плохо. Можно выполнить расчет понаиболее вероятным значениям аргументов, нотогда мы просто уходим от необходимости учетадопусков, то есть возможных флуктуацийпоказателей в будущем.
Имитационное моделирование позволяетрешить эту проблему и при наличии аналитическихзависимостей и при их отсутствии. При этомпроизводится моделирование случайного явления спомощью заранее обусловленной процедуры, дающейслучайный результат [8]. Каждый раз мы получаемодну возможную реализацию случайного явления.Повторяя эту процедуру многократно, мы получиммножество реализаций и соответственно множествовозможных значений результирующего показателя.Другими словами, формируется выборка, которуюможно обработать обычными методами теориистатистики с целью получения статистическиххарактеристик анализируемого показателя(гистограмма, кумулята, среднее, дисперсия и т.д.).
Для применения метода необходимо:
- знать вероятностные характеристики факторных аргументов;
- знать правило вычисления результирующего признака при любых фиксированных значениях аргументов.
Одной из первых задач по применениюметода Монте-Карло является задача определениясреднего времени безотказной работы изделия поизвестным характеристикам безотказной работыкаждого составляющего элемента.
Мы приводим этот пример по той причине,что он позволяет с предельной простотой показатьпрактическое применение имитационногомоделирования. Кроме того, несмотря наабсолютные внешние различия с обсуждаемымвопросом, методика решения обеих задач почтиодинакова.
Если считать, что ресурс каждогоэлемента фиксированная величина, то определитьресурс изделия не представляет труда, например,для изделия, схема которого показана на рис.3., вкотором выход из строя одного элемента влечет засобой выход из строя всего изделия, ресурс равенминимальному из ресурсов составляющихэлементов:
t = min/t1, t2, t3, t4/. (26)
Рисунок 3. Структурная схема простой системы
Для изделия, схема которого показанана рис. 4, где один элемент дублирован:
t = min [t1, t2, max(t3, t4), t5]. (27)
Рисунок 4. Структурная схема сложной системы
Приведенная формула (27) отражает тотфакт, что если, например, элемент 3 выйдет изстроя, то изделие будет нормально работать наэлементе с номером 4.
В действительности ресурс любогоэлемента представляет собой случайную величину.Если мы говорим, что срок службы электрическойлампочки составляет 1000 час, то это лишь среднеезначение. Все знают, что одна лампочка перегораетбыстрее, а другая, в точности такая же, горитдольше.
Если известны параметры функцийраспределения ресурсов составляющих элементов,то для каждого из них разыгрывается возможноезначение (реализация) ресурса ti. Затем поформулам (26) или (27) определяется однасоответствующая реализация ресурса изделия.Множество полученных реализаций обрабатываетсяпо общим правилам статистики для полученияхарактеристик распределения ресурса изделия.
Таким образом, в качестве исходнойинформации необходимо знать вероятностныехарактеристики элементов рассматриваемойсистемы и правило вычисления интересующих насвеличин как функции от параметров элементов.Тогда случайность параметров учитывается впроцессе моделирования. Как видно из этогопримера, с помощью метода можно еще на стадиипроектирования оценить качество любых изделий,состоящих из стандартных элементов с известнымивероятностными характеристиками, а такжеоценивать изменение качества при замене однихэлементов другими, то есть существуетпрактически полная аналогия с задачей анализапортфеля инвестиций.
Имитационное моделирование посуществу представляет собой статистическийэксперимент, поэтому результаты достигаютстационарных значений только после егомногократного повторения. Необходимое числореализаций (прогонов моделей) определяется поизвестным формулам для оптимального объемавыборки. Следует отметить, что результаты неизменятся, если вместо непрерывного процессамоделирования на ПК с заданным числом реализацийиспользовать сумму реализаций, полученную врезультате индивидуальной работы студентовгруппы численностью 20—25 человек сиспользованием калькулятора, снабженногодатчиком случайных чисел (ДСЧ).
Датчик случайных чисел выдаетслучайные числа, равномерно распределенные винтервале от 0 до 1. Случайные величины с любымизаконами и параметрами распределения легкополучить на основе этих чисел.
В случае равномерного распределенияслучайной величины в интервале от a до b случайныечисла xi получают путем линейногопреобразования:
xi = a + ei ((b–a), (28)
где i — случайное число ДСЧ.
Например, если надо найти трислучайных числа, равномерно распределенных винтервале от 10 до 15, то используя подряд числа ДСЧполучим:
x1 = 10 + 0,858.(15–10) = 14,29;
x2 = 10 + 0,465.(15–10) = 12,32;
x3 = 10 + 0,167.(15–10) = 10,83.
Если предполагается, чтораспределение случайной величины нормальное, топрименяется одна из следующих формул:
 (29), (30)
При значении коэффициента вариацииVx>0.33 используется распределениеВейбулла-Гнеденко. Случайная величинаопределяется по формуле:
 (31)
где x0 и m — параметры масштаба иформы соответственно.
Параметры распределения x0 и mполучают либо по таблицам в зависимости откоэффициента вариации, либо методоммаксимального правдоподобия, либо сиспользованием масштабно-координатной сетки, накоторой функция распределения с помощьюдвойного логарифмирования преобразуется влинейную. Для приближенной оценки параметров x0и m можно использовать формулы (13).
Для получения статистическиххарактеристик портфеля методом имитационногомоделирования предполагается, что известныгодовая норма прибыли по каждому активу (xi),коэффициент вариации (Vi) и удельные весакаждого актива в общей стоимости инвестиций придопущении об отсутствии взаимной корреляции,хотя на модели это учесть несложно.
Исходные данные, которыеиспользовались для проверки предложеннойметодики, представлены в табл. 4.
Таблица 4
Исходная информация для апробациипредложенной методики
Случайные реализации доходности по каждомуактиву получаются из условий:
По каждой реализации фиксируютсяминимальное, максимальное значения доходности,размах, среднеарифметическая исреднегеометрическая доходность. Через каждые 100реализаций определяются соответствующиесредние по выборке и среднеквадратическоеотклонение. Затем прогоны продолжают покапроцесс изменения этих величин нестабилизируется. Полученный массивстатистической информации позволяет построитьгистограммы выходных показателей и получить всенеобходимые характеристики портфеля.
Литература
1. Ковалев В.В. Введение в финансовыйменеджмент. — М.: Финансы и статистика, 1999.
2. Дж. Брайен, С. Шристава. Финансовыйанализ и торговля ценными бумагами. — М.: ДелоЛТД, 1995.
3. Дружинин Г.В. Методы оценки ипрогнозирования качества. — М.: Радио и связь, 1982.
4. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В.Курс теории вероятностей и математическойстатистики для технических приложений. — M.:Наука, 1969.
5. Четыркин Е.М. Финансовый анализпроизводственных инвестиций. — М.: Дело, 1998.
6. Таха Х. Введение в исследованиеопераций. — М.: Мир, 1985.
7. Росин М.Ф. Статистическая динамика итеория эффективности систем управления. — M.:Машиностроение, 1970.
8. Бусленко Н.П. Метод статистическогомоделирования — М.: Статистика, 1970.
Примечание:
— в тексте знак суммы заменен внекоторых случаях на знак S. | 
