Статьи

Версия для печати

Все статьи | Статьи за 2011 год | Статьи из номера N4 / 2011

Управление запасами: верна ли формула Вильсона?

Дзюба С.А.,
к. т. н., ИрГТУ, г. Иркутск

«Если рассудок и жизнь дороги вам,
держитесь подальше от…»
А. Конан-Дойл

Странная формула Вильсона
Теория управления запасами призвана предоставить исследователям и практикам инструментарий для решения задач бесперебойного обеспечения товаром или производственными материалами при условии поддержания обоснованного размера запаса и способа доставки. Она базируется на модели оптимального объёма единичной партии (economic order quantity – EOQ), известной также как формула Вильсона (Wilson Formula). Практически все обзоры и систематические изложения теории ([1] – [6]) обозначают эту модель как отправную точку, а ключевые положения теории, по существу, представляются как её различные усложнённые модификации. Несмотря на распространённость и популярность модели Вильсона, лишний раз изложим её положения, чтобы обратить внимание на некоторые странности.

Модель EOQ опирается на базовые предпосылки:
П1. Стоимость содержания единицы запаса – величина постоянная.
П2. Операционные издержки на один заказ не зависят от размера заказа.
П3. Цена единицы товара не зависит от размера заказа.

С теми или иными уточнениями эти предпосылки формулируются всеми авторами, излагающими результат Уилсона [2, 3, 4, 7]. На рис. 1 приведена типовая иллюстрация формирования EOQ при суммировании издержек хранения и издержек формирования заказа:

где Q – количество единиц товара в заказе;
D – издержки хранения единицы товара (множитель 1/2 условно отражает, что при равномерном расходовании запаса средняя его величина равна половине поступившей партии);
B – разовые издержки на формирование и исполнение заказа;
s – потребность в единицах товара за определённый период;
p – себестоимость единицы товара.

Из предпосылок модели первое слагаемое представляет собой прямую с наклоном вверх, а второе – кривую с наклоном вниз. Тогда их сумма будет выглядеть как выпуклая кривая с единственным минимумом. Третье слагаемое имеет графиком прямую, параллельную оси абсцисс, и на точку минимума не влияет. Тогда оптимум находится как нуль производной от (1) по Q, который достигается в точке

 

На первый взгляд, предпосылки модели выглядят очень логичными. Чем больше партия, тем реже будут заказы и соответственно ниже операционные издержки их исполнения, а с другой стороны, тем большие складские мощности потребуются. Однако эта логика начинает трещать по швам, стоит только внимательно взглянуть на предпосылки.

Начнём с первой из них. Фактически она постулирует, что издержки содержания запаса являются переменными, то есть чем больше запас, тем выше издержки. Однако если у вас имеется склад некоторой вместимости, то затраты на его эксплуатацию (если опустить детали второго плана) не будут зависеть от размера поставляемой партии.

Следовательно, издержки хранения и любые иные постоянные издержки (например, отопление) никак не соответствуют предпосылке П1 и полностью разрушают модель, поскольку для постоянных издержек график первого слагаемого из (1) будет выглядеть как прямая, параллельная оси абсцисс, вследствие чего точка минимума пропадёт. Тем не менее если мы обратимся к [1, с. 503], то в перечне разновидностей издержек содержания запасов среди процента на капитал, страхования, убыли, налогов и других переменных затрат увидим издержки хранения и стоимость эксплуатации обслуживающих систем, которые скорее являются постоянными, чем переменными.

В чём же дело? В исходном англоязычном описании формулы Вильсона издержкам содержания запасов соответствует термин «carrying costs»(1). Его происхождение уходит в давние века, когда было замечено, что если лошадь тащит (carry) воз с фуражом и поедает его по дороге, то количество доставленного фуража обратно пропорционально пройденному пути.


(1) en.wikipedia.org/wiki/Economic_order_quantity. Carry costs (англ.) – дословно: затраты перевозки.


Причём формула для остатка фуража в точности такая же, как для дисконтируемого банковского вклада. Если к тому же учесть, что чем легче груз, тем быстрее начинает идти лошадь, приходим к формуле сложного процента. Поэтому термин «carry costs» очень распространён в финансовой инженерии, но не имеет ёмкого и короткого русского эквивалента. Применительно к формуле Вильсона логично было бы сразу обозначить D = pr, где p – себестоимость единицы товара, r – ставка процента на капитал, чтобы не было искушения вписать сюда те издержки, которые не имеют отношения к делу(1).

Менее очевидная, но большая сложность возникает со вторым слагаемым – издержками выполнения заказа. Если они не зависят от величины заказа, как это записано в П(2), то непонятно, почему в модели Вильсона им соответствует кривая с отрицательным наклоном, а не прямая, параллельная оси абсцисс. Фокус в том, что второе слагаемое в (1) – это суммарные издержки всех заказов, скажем, за год (если s – это годовая потребность), что как раз и объясняет, почему кривая имеет вид гиперболы.

Но тогда необходимо обратить внимание на следующее: первое слагаемое – это затраты на одну партию, второе – годовые затраты. Их суммирование для нахождения какого бы то ни было оптимума с экономической точки зрения выглядит не слишком грамотно.

И этот дефект формулы Вильсона никакими разумными доводами оправдать нельзя.

Третья предпосылка модели порождает ещё один клубок проблем. Задаваемое ею условие p = const обеспечивает, что производная третьего слагаемого (1) по Q будет равна нулю и тогда будет справедливо выражение (2), как раз именуемое формулой Вильсона. Если же допустить, что p = p(Q)r, не забывая при этом, что и D = p(Q)r, то формула (2) становится математически неверной. Поэтому если каким-либо образом калькулировать s, B и D, но понимать, что условие p = const не выполняется (а именно так практически всегда и будет), то подставить эти значения в (2) можно, но только оптимумом полученный результат не будет.

Поразительно, но авторы порождают модификации формулы Вильсона, вводя в неё всё более усложняющиеся и приближённые к «реальности» условия и забывая, что выражение (2) будет справедливо только при условии p = const. За примером далеко ходить не надо. Так, в [6] со ссылкой на соответствующие источники(2) указывается, что транспортные издержки следует учитывать в себестоимости товара. Происходит же это на фоне рассуждений о том, что удельные (на единицу товара) транспортные издержки снижаются при увеличении партии, что, как минимум, ведёт к нарушению предпосылки П3 и невозможности использования формулы Вильсона по математическим соображениям.

Разумеется, слишком большие натяжки, к которым приходится прибегать при использовании формулы Вильсона, постоянно порождают скептическое к ней отношение.

Об этом, например, говорится в [7], но при этом указывается, что проблема не в самой формуле, а в правильном её использовании. Для этого необходимо, утверждает автор, правильно посчитать «стоимость размещения заказа (во сколько обходится посчитать, оформить, отправить заказ поставщику, получить его и оприходовать)» и «издержки хранения заказов (сумма, которую тратит магазин на приёмку, оформление, сортировку, хранение, упаковку, перевозку этого товара)».


(1) Справедливости ради стоит отметить, что исходный термин со средневековых времён также «оброс» лишним смысловым содержанием, так Википедия в статье «Carrying cost» (en.wikipedia.org/wiki/Carrying_cost), рассматривая этот термин как маркетинговый, включает в состав затрат «rent, utilities and salaries, financial costs such as opportunity cost, and inventory costs related to perishibility, shrinkage and insurance». Всё «до кучи», как это и сделано в [1]. Но тут же в статье «Cost of carry» (en.wikipedia.org/wiki/Cost_of_carry), рассматривая это как финансовый термин, Вики ассоциирует егосо сложным процентом.
(2) Линдерс М.Р., Харольд Е.Ф. Управление снабжением и запасами. Логистика : пер. с англ. – СПб. : Полигон, 1999. – С. 243–247, 768; Бауэрсокс Д.Д., Клосс Д.Д. Логистика : интегрированная цепь поставок. – М. : Олимп-бизнес, 2001. – С. 246, 640. Источник указан по [6].


Здесь всё свалено в одну кучу без разбора того, какие издержки исчисляются на количество товара, количество партий или вообще являются постоянными. Невнимание к этим вопросам нисколько не мешает авторам пропагандировать «сугубую практичность» формулы Вильсона [5]. К каким результатам это приводит, показывает пример, приведённый в [6]. Он достоин того, чтобы разобрать его подробно.

«Рассмотрим московскую организацию, ведущую торговлю мукой в мешках по 50 кг. Годовая потребность организации в закупках муки – 4000 т. Все поставщики, с которыми работает организация, размещены в Ставропольском крае на расстоянии в среднем 1500 км. Вопрос определения оптимального размера заказа стоял перед организацией довольно актуально в связи с необходимостью определиться с видом наиболее экономичного вида транспорта…

Стоимость размещения заказа была определена на основе следующих данных: затраты на работу с поставщиками рассчитаны через фонд заработной платы менеджеров и равны 3400 руб.; стоимость аренды офиса 2000 руб. Стоимость размещения заказа, таким образом, составила 5400 руб.

Затраты на хранение запаса определены в размере 8482 руб./т., в том числе: капитальные затраты – 7100 руб./т; альтернативные издержки – 90 руб./т (из расчета 14% годовых); стоимость обработки запасов (подача и уборка вагона, погрузкавыгрузка, стретч-пленка) – 420 руб./т; аренда склада 13 руб. × кв.м/сутки × 150 кв.м = 175 руб./мес.1; издержки обслуживания запаса 697 руб. … Расчёт проведён по формуле Вильсона: 

Расстояние до поставщика 1500 км. Целесообразно производить поставки железнодорожным транспортом, крытыми вагонами грузоподъёмностью 68 тонн» (конец цитаты).

Видно, что издержки хранения в основном определяются капитальными затратами.

Их исчисление в единицах «руб./т» создаёт иллюзию, что эта величина зависит от того, сколько тонн будет в партии. Очевидно, что капитальные затраты с размером заказа никак не могут быть связаны. Остаётся предположить, что издержки на тонну получены в пересчёте на готовый объём закупок, что никак не превращает их из постоянных в переменные. Кроме того, бросается в глаза, что капитальные затраты избыточно велики (7100 руб./т × 4000 т) и ни при каких разумных условиях не соответствуют стоимости склада в 150 кв.м даже со всей возможной инфраструктурой. К тому же из калькуляции следует, что склад арендуется и капитальные затраты должны относиться к какому-то другому объекту, жизненно необходимому для создания зернового запаса.

Не меньшая странность полученного результата заключается в том, что если менеджеру будет повышена зарплата или возрастёт аренда офиса, то оптимальным станет размер партии в полтора или два вагона, хотя с точки зрения здравого смысла между одним и другим нет связи. С другой стороны, транспортные издержки, которые должны иметь самое прямое отношение к поставленной задаче, здесь никак не фигурируют.

Действительно, если имеется некий годовой объём товара, который можно выбрать большими или маленькими партиями, то годовая аренда офиса и зарплата менеджера никак не изменятся, а вот годовые транспортные затраты будут различными.


(1) До этого издержки исчислялись в руб./т, а здесь в руб./мес., а затем это всё суммируется. Если бы в школе в задачке по физике вы сложили бы вес и длину, то учитель вряд ли одобрил бы ваше решение. Поскольку к тому же 13 × 150 ≠ 175 даже при переводе суток в месяцы посчитаем это за опечатку.


Приведённый пример показывает, как формула Вильсона позволяет манипулировать цифрами, произвольно привлекать или исключать те или иные данные, при необходимости понимать их так или эдак, по своему усмотрению «нагружать» или «облегчать» числитель или знаменатель подкорневого выражения (2), чтобы получить и «научно» обосновать любой наперёд заданный результат. Кстати, в приведённом примере имеются признаки того, что сначала был задан желаемый ответ, а затем для него получено обоснование. В постановке задачи сказано, что требуется «определиться с видом наиболее экономичного вида транспорта», а в калькуляции фигурирует «подача и уборка вагона», то есть этот вид транспорта – железнодорожный.

Глядя на это, хочется вслед за героиней «Собаки Баскервилей» предостеречь: «Если рассудок и жизнь дороги вам, держитесь подальше от… формулы Вильсона».

Возврат к классике и здравому смыслу
История возникновения формулы Вильсона отчасти объясняет её популярность.

Появление первых массовых исследований на эту тему относится к 1912–1927 гг., а в русских переводах самые ранние научные упоминания, по-видимому, относятся к 1960-м гг. [4]. По другим источникам, появление формулы Вильсона датируется 1915 г. [6]. В любом случае это была эпоха, когда проведение громоздких расчётов было затруднено, что объясняет востребованность простых вычислительных формул.

Странно, что этот аргумент в пользу формулы Вильсона выдвигается и сейчас [6], когда вычислительные затраты для такого рода задач несоизмеримо малы по сравнению с затратами на подготовку и верификацию исходных данных. От всех упрощающих предпосылок П1–П3 можно без ущерба отказаться, поскольку они требуются исключительно для того, чтобы было легко взять производную по Q от выражения (1) и воспользоваться формулой (2).

Для решения задачи определения оптимального размера заказа воспользуемся классическим методом определения годовых затрат, разработанным ещё советской экономической школой [8]. Она обращала особое внимание на методологическую корректность сравнения затрат и результатов. Если бы апологеты формулы Вильсона были знакомы с трудами великого экономиста В.В. Новожилова, то, возможно, они не нагородили бы такой восхитительной бессмыслицы.

Итак, в рамках введённых ранее обозначений приведённые годовые затраты фирмы по реализации продукции (товара) составят сумму периодических (годовых) C и инвестиционных I затрат с учётом нормы отдачи на капитал r: E(Q) = C(Q) + rI(Q), C(Q) =  sp(Q), I(Q)Q/2 (3), где C(Q) – годовая себестоимость продукции, s – годовой объём реализации в натуральных единицах, p(Q) – себестоимость единицы продукции при партии в Q изделий, I(Q) – инвестиции в создание среднегодовых запасов в размере половины партии товара. Поскольку нас интересует только решение задачи определения оптимального размера заказа, то наличие страхового запаса или неликвидов не должно учитываться.

В представлении (3) в явном виде заложено, что себестоимость единицы продукции зависит от размера партии. Для промышленного производства эта зависимость будет порождаться эффектом экономии от масштаба (случай подробно рассмотрен в [11] вместе с описанием объекта исследования). Для торговых операций увеличение размера партии будет приводить к уменьшению транспортных издержек и снижению себестоимости в результате оптовых скидок поставщиков. Как совершенно справедливо указано в [3], эти изменения на практике носят дискретный ступенчатый характер.

Попытка взять производную от (3), чтобы получить нечто, напоминающее формулу Вильсона, наталкивается на непреодолимое препятствие, заключающееся в том, что в разных случаях p(Q) будет представлять собой разные функции, причём не всегда дифференцируемые. Поэтому будет проще задать с некоторым шагом последовательность значений Q и построить таблицу или график (рис. 2). И вот здесь открывается самое интересное.

При первом же взгляде на рис. 2 бросается в глаза, что полученные по формуле (3) кривые очень напоминают кривую на рис. 1, соответствующую формуле (1). И действительно, между (3) и (1) обнаруживается соответствие. С одной стороны, rI(Q) = DQ/2, откуда впрямую следует, что rp(Q) = D, подтверждая высказанную ранее догадку о том, что «издержки хранения» в действительности есть не всевозможные переменные затраты, а только издержки капитала на поддержание запаса (carry cost).

С другой стороны, C(Q) = sB/Q + ps, но тогда, если p есть убывающая (неважно, гладко или ступенчато) функция от Q, то первое слагаемое в правой части становится лишним. Хотя можно заметить, что sB/Q – это и есть гладко убывающая по Q функция, которую можно использовать вместо ps. Тогда при правильном задании B первое слагаемое можно понимать как модель снижения цены при увеличении размера заказа.

Под словом «правильный» подразумевается то, что не нужно B трактовать как долю зарплаты менеджера и аренды офиса, которую можно отнести на работу с заказом, поскольку это методологически некорректно. Более правильно взять B, например, как изменение транспортных затрат при изменении размера заказа.  где T – транспортные издержки, такие, что  Следует только понимать, что всякая подобная модель будет корректна при некоторых конкретных предпосылках, поэтому в общем случае «безопаснее» брать C(Q) = p(Q)s. Подробно это можно увидеть в [11], более сложные модели планирования поставок в [9, 10].

Приведённое соответствие демонстрирует основную, видимо, причину живучести формулы Вильсона. Модель (1) в принципиальных моментах оказывается верна, если очистить её от методологических деформаций, вынуждающих прибегать к манипуляциям и натяжкам, чтобы получать правдоподобные и «сугубо практичные» результаты из неверных предпосылок. Но из того, что (1) «реабилитирована», вовсе не следует, что можно пользоваться формулой (2), поскольку это потребует возврата к предпосылкам П1–П3, которые для (1) как редукции формулы (3) не нужны.

Другим интересным наблюдением является конфигурация кривой приведённых годовых затрат (3) в окрестности минимума. На рис. 2а видно, что оптимальный размер партии при r = 20% составит Q* ≈ 2500 шт. Однако эти же затраты при размере заказа в диапазоне 2000–4500 шт. будут отличаться от оптимальных очень незначительно.

Поэтому можно говорить не о точке минимума, а о целом диапазоне оптимального размера заказа. Разумеется, этот эффект был известен, но в [6] он используется как аргумент в пользу формулы Вильсона, демонстрируя устойчивость получаемого с её помощью результата к некоторому изменению исходных данных. В действительности верным является в точности обратное утверждение: использование формулы Вильсона (2) не позволяет оценить «ширину» области оптимального размера заказа, которую можно выявить с помощью формулы (3). В том, что эта область не всегда будет такой «широкой», как в случае рис. 2а, можно убедиться на рис. 2б, демонстрирующем кривую годовых приведённых затрат для другого товара. Нетрудно раскрыть  причину этого: рис. 2б соответствует товар из более дорогого сегмента с меньшим годовым объёмом продаж (pa < pб и sa > sб). Из этого наблюдения можно сделать далеко идущие выводы.

Теория запасов: повод для ревизии
В течение XX в. теория управления запасами сменила доктрину поддержания максимального уровня запасов на парадигму их уменьшения [1]. Фактически в качестве состоятельного аргумента в пользу создания запасов рассматривается только вопрос снижения риска ущерба из-за непоставки товара. В остальном же запасы рассматриваются как омертвление капитала. Однако из рис. 2а следует совершенно противоположное: слева от точки оптимума в области недостаточного запаса затраты гораздо выше, чем справа. Выходит, недостаток запаса приводит к высоким издержкам, а избыток – нет. Причём кривая годовых приведённых затрат характеризует только экономическую эффективность без учёта риска непоставок. Получается, что выгода от получаемых скидок, снижения транспортных издержек или экономии на масштабе производства гораздо выше, чем затраты капитала на содержание запаса. Причём из (3), а также сравнения рис. 2а и 2б следует, что чем выше годовой объём продаж, тем сильнее проявляется этот эффект. Требуется очень значительное увеличение цены капитала, чтобы кривая затрат справа от точки оптимума получила сопоставимую крутизну наклона. На рис. 2 это демонстрируют штриховые кривые для цены капитала 50%, то есть выше исходной в 2,5 раза. Это выступает очень сильным аргументом против тезиса, что запасы являются омертвлением капитала.

Не менее любопытную закономерность можно увидеть, если сопоставить эффект от применения скидки с ценой капитала на поддержание запаса. Может показаться неожиданным, что, например, скидка в 10% на годовой объём поставок товара оправдывает использование кредита под 20% годовых сроком на год. Расчёты для условного годового объёма в 4000 руб. с поквартальной детализацией приведены в табл. 1:
- В варианте а) весь годовой объём закупается единовременно со скидкой 10% за 3600 руб. На эту сумму на год берётся кредит под 20% годовых. Это отражено в столбце перед I кварталом. Кредит погашается в IV квартале и берётся кредит на следующий год, но на сумму 2300 руб., исходя из реальной потребности в денежных средствах.
- В варианте б) в каждом квартале закупается партия на 1000 руб. без скидки (в год = 4000 руб.). В результате оборачиваемость запасов будет в 4 раза выше, чем в конкурирующем варианте. Запасы финансируются кредитом в 1000 руб. под 20% годовых, погашаемым в IV квартале.

 

https://www.dis.ru/gif/manag/arhiv/2011/4/1/upravlenie_zapasami_verna_li_formula_vilsona16.gif

По итогам пяти кварталов(1) рентабельность варианта а) будет выше. Видно, что высокая оборачиваемость запасов варианта б), столь навязываемая современной теорией, нисколько его не спасает. Это и не удивительно, поскольку рост оборачиваемости увеличивает эффективность запасов по сложному проценту. Например, если годовая рентабельность запасов составляет 20%, то увеличение оборачиваемости в 4 раза обеспечит рентабельность  

Всё сказанное позволяет сделать вывод, что борьба за высокую оборачиваемость никак не может принести столь высокие выгоды, как это декларируется современной теорией управления запасами.

Сразу же возникает возражение: но ведь практика это подтверждает, например, знаменитая система just-in-time. Давайте попробуем разобраться. Пионер этой системы корпорация «Тойота» радикально сократила запасы комплектующих, заставив поставщиков предоставлять их малыми партиями точно в срок. Поставщики могут выполнить это жёсткое условие, только создавая страховые запасы у себя. Поэтому если мы сложим запасы «Тойоты» и её поставщиков, то в условиях действия системы just-in-time они останутся теми же, только «перекочуют» со складов «Тойоты» к поставщикам. Разумеется, их совокупный объём может несколько сократиться, поскольку мелкие фирмы могут более точно управлять запасами, чем промышленный гигант. Однако так же верно и то, что за утверждением о сокращении «Тойотой» запасов на 80% скрывается только половина правды, поскольку на сопоставимую сумму вырастут запасы у её смежников.

Так что вторая половина правды заключается в том, что just-in-time есть механизм, посредством которого крупные корпорации «делегируют» задачу управления запасами своим поставщикам. При этом, пользуясь своим положением монопсониста, они не позволяют партнёрам компенсировать рост затрат изменением цены и фактически присваивают часть их прибыли.

Теневая сторона just-in-time нигде открыто не освещается, однако имеются косвенные  подтверждения существования проблемы: «Практика JIT в первоначальном виде вызывала враждебность со стороны поставщиков, так как оказывала на них существенное давление. Система JIT II была разработана с целью повысить эффективность логистического процесса для обеих сторон – поставщиков и потребителей.

JIT II основывается на совместном обладании ранее скрываемой информацией – такой, например, как последние прогнозы продаж, и предполагает взаимное доверие, так как компании могут  столкнуться с серьёзными конфликтами интересов» [1, с. 546].

Если с общеэкономической точки зрения система just-in-time не оказывает такого уж  существенного влияния на величину запасов, то почему так распространено мнение о её эффективности? Ответ заключается в том, что применение этой системы влечёт и «побочные» эффекты в виде сокращения производственного цикла, снижения производственных издержек, которые более естественно признать основными. Похожая ситуация складывается с информационными системами: мы ожидаем от них снижения управленческих расходов, а эффект наблюдается совсем в другом [12, 13].


(1) Пять кварталов взято потому, что по итогам четырёх кварталов вариант а) будет иметь заведомые преимущества, поскольку не будут отражены затраты по кредиту на следующий год.


Литература
1. Корпоративная логистика (300 ответов на вопросы профессионалов) / под ред. В.И. Сергеева. – М. : Инфра-М, 2005.
2. Логистика : учебн. пособие / под ред. Б.А. Аникина. – М. : Инфра-М, 1999.
3. Шукаев А.И. Модели планирования закупок материальных ресурсов // Менеджмент в России и за рубежом. – 2005. – № 3.
4. Родионов А.Р., Родионов Р.А. Управление производственными запасами // Менеджмент в  России и за рубежом. – 1999. – № 1.
5. Стерлигова А.Н. О сугубой практичности формулы Вильсона // Логистика&система. – 2005. – № 4, 5. – С. 42–52, 56–61. Материалы сайта ecsocman.edu.ru/text/16933401/ (дата доступа 06.01.2011).
6. Стерлигова А.Н., Семёнова И.В. Оптимальный размер заказа, или Загадочная формула Вильсона // Логистик&система. – 2005. – № 2, 3. – С. 64–69, 62–71. Материалы сайта ecsocman.edu.ru/text/16935067/(дата доступа 06.01.2011).
7. Бузукова Е.А. Модель оптимального размера заказа. Материалы сайта buzukova.web-box.ru/files/upravljaem-assortimentom-2 (дата доступа 29.12.2010).
8. Новожилов В.В. Измерение затрат и результатов при оптимальном планировании. – М. : Экономика, 1967.
9. Дзюба С.А. Модель прогнозирования продаж на основе анализа запасов // Управленческий учёт. – 2010. – № 2. – С. 49–57.
10. Дзюба С.А. Детальное планирование поставок товара на длительный период // Управленческий учёт. – 2010. – № 6. – С. 60–70.
11. Дзюба С.А. Издержки гибкого производства и оптимальный размер заказа // Экономический анализ: теория и практика. – 2011. – № 11. – С. 52–57.
12. Дзюба С.А. Эффективность системы управления : информационный подход // Менеджмент в России и за рубежом. – 2010. – № 4. – С. 3–10.
13. Дзюба С.А. Производительность и издержки информационной системы : теоретический подход и практические выводы // Менеджмент в России и за рубежом. – 2011. – № 2. – С. 10–17.

Отдельные номера журналов Вы можете купить на сайте www.5B.ru
Оформление подписки на журнал: http://dis.ru/e-store/subscription/



Все права принадлежат Издательству «Финпресс» Полное или частичное воспроизведение или размножение каким-либо способом материалов допускается только с письменного разрешения Издательства «Финпресс».